Pertama-tama, sebenarnya bilangan positif itu apa?

Bilangan yang lebih besar dari nol…

Apa itu “lebih besar dari nol”?

Ngapain sih nanya, anak TK juga tau kali… 1 lebih besar dari 0, 2 lebih besar dari 0, 3 lebih besar dari 0, gitu aja terus…

Anda tau dari mana 2 lebih besar dari 0?

Menurut kamu, mana yang lebih banyak, 2 kursi atau 0 kursi?

Anda hanya mengganti istilah “lebih besar” dengan “lebih banyak”. Sekarang, apa itu “lebih banyak”?

Eh [masukkan kata kasar], kenapa sih lu sok ribet gitu? Udah jelas kali “lebih banyak” tuh apaan!

Anda mungkin kesal dengan salah satu atau kedua pihak dari percakapan tadi. Tapi untuk membuktikan sesuatu, anda harus kembali ke definisi formalnya.

Bayangkan diri anda adalah petugas Jasa Raharja yang menjaga pintu tol. Suatu hari, seseorang datang mengemudikan sebuah sepeda motor yang telah dimodifikasi sehingga menjadi beroda empat. Ia ingin memasuki jalan tol, dengan alasan bahwa kendaraannya layak disebut mobil karena beroda empat, bermesin, dan menggunakan bahan bakar bensin. Apakah anda akan mengizinkannya masuk jalan tol?

Sesuatu yang semula saking simpelnya semua orang tahu (anak TK juga bisa membedakan mana mobil dan mana yang bukan, toh?) tiba-tiba menjadi kompleks ketika bertemu kasus yang unik atau ketika kita mencoba mendefinisikannya. Sama halnya dengan “lebih besar dari 0”. Awalnya kita merasa semua orang tahu, namun ketika mendefinisikannya, kadang malah ngambek sambil berujar “anak TK aja tau!”.

Secara formal, definisi “lebih besar dari 0”, disingkat “>0”, adalah sebagai berikut.

• Pada himpunan bilangan real, ada sebuah himpunan bagian bernama P (nantinya ini disebut bilangan positif) sehingga:
• Untuk setiap bilangan real a, berlaku tepat salah satu dari tiga hal:
  • a adalah anggota P (nantinya kita sebut a>0),
  • a = 0, atau
  • -a adalah anggota P (nantinya kita sebut a<0, atau a adalah bilangan negatif)
• Jika a dan b anggota P, maka a+b juga merupakan anggota P (dalam bahasa manusia: dua bilangan positif dijumlahkan hasilnya positif)
• Jika a dan b anggota P, maka a×b juga merupakan anggota P (dalam bahasa manusia: dua bilangan positif dikalikan hasilnya positif)
• Kita sebut a>0 alias a adalah bilangan positif jika a adalah anggota P.
• Kita sebut a<0 alias a adalah bilangan negatif jika -a adalah anggota P.

Perhatikan bahwa definisi ini mengasumsikan pembacanya familiar dengan penjumlahan dan perkalian. Maka sekarang timbul pertanyaan baru kalau anda ingin mendefinisikan segalanya.

Apa itu penjumlahan dan perkalian?

Seperti halnya “lebih besar dari 0”, penjumlahan dan perkalian juga merupakan sesuatu yang sederhana sampai anda bertemu penjumlahan dan perkalian yang tidak biasa.

Misalnya, bagi yang sudah atau sedang menjalani masa SMA, anda pernah belajar bahwa perkalian di matriks berbeda dengan perkalian biasa. Atau 9 jam setelah pukul 13 siang adalah pukul 13+9=22, pukul 22 malam. Namun 5 jam setelah pukul 22 adalah pukul 3 dini hari, bukan pukul 22+5=27 karena penjumlahan angka jam memiliki aturan “jumlahkan seperti biasa, namun jika hasilnya 24 atau lebih maka kurangi dengan 24” alih-alih “jumlahkan seperti biasa”.

Jadi, apa itu penjumlahan?

Penjumlahan, dinotasikan +, adalah sebuah operasi yang memenuhi syarat-syarat berikut:

• Well-defined (terdefinisi dengan baik), artinya jika a=b dan c=d maka a+c=b+d. Dalam bahasa manusia, penjumlahan dua buah bilangan selalu hanya memberikan satu hasil tidak pernah berubah. 0+1=1 tidak pernah tiba-tiba menjadi -1.
• Tertutup, artinya hasil sebuah penjumlahan selalu berada di himpunan tempat ia didefinisikan (contoh: penjumlahan dua bilangan bulat selalu bulat, tidak pernah menjadi pecahan atau irasional; penjumlahan angka jam selalu menghasilkan angka jam lagi, tidak pernah menjadi lebih dari 24)
• Komutatif, artinya a+b=b+a. Dalam bahasa manusia, pengubahan urutan bilangan yang dijumlahkan tidak mengubah hasil penjumlahan
• Asosiatif, artinya a+(b+c)=(a+b)+c. Dalam bahasa manusia, jika ada penjumlahan berantai maka terserah anda dari mana anda mulai menjumlahkan, hasilnya tetap sama
• Identitas, artinya terdapat sebuah bilangan, yang kita beri nama 0, sehingga a+0=a untuk setiap a di himpunan di mana penjumlahan didefinisikan. Dalam bahasa manusia, penjumlahan dengan 0 tidak mengubah hasil
• Invers, artinya untuk setiap a, terdapat -a sehingga a + (-a) = 0. Dalam bahasa manusia, setiap bilangan memiliki lawan penjumlahan yang kalau dijumlahkan hasilnya 0.

Nah, sekarang, apa itu perkalian?

Definisinya mirip penjumlahan. Perkalian adalah sebuah operasi yang memenuhi syarat-syarat berikut:

• Well-defined (terdefinisi dengan baik), artinya jika a=b dan c=d maka a×c=b×d. Dalam bahasa manusia, perkalian dua buah bilangan selalu hanya memberikan satu hasil tidak pernah berubah. 0×1=0 tidak pernah tiba-tiba menjadi 1.
• Tertutup, artinya hasil sebuah perkalian selalu berada di himpunan tempat ia didefinisikan (contoh: perkalian dua bilangan bulat selalu bulat, tidak pernah menjadi pecahan atau irasional; perkalian angka jam – jika anda ingin melakukannya – selalu menghasilkan angka jam lagi, tidak pernah menjadi lebih dari 24)
• Komutatif, artinya a×b=b×a. Dalam bahasa manusia, pengubahan urutan bilangan yang dikalikan tidak mengubah hasil perkalian
• Asosiatif, artinya a×(b×c)=(a×b)×c. Dalam bahasa manusia, jika ada perkalian berantai maka terserah anda dari mana anda mulai mengalikan, hasilnya tetap sama
• Identitas, artinya terdapat sebuah bilangan, yang kita beri nama 1, dengan 1≠0, sehingga a×1=a untuk setiap a di himpunan di mana perkalian didefinisikan. Dalam bahasa manusia, perkalian dengan 1 tidak mengubah hasil
• Invers, artinya untuk setiap a≠0, terdapat 1/a sehingga a × (1/a) = 0. Dalam bahasa manusia, setiap bilangan selain 0 memiliki kebalikan perkalian yang kalau dikalikan hasilnya 1.

Selain itu, pada operasi penjumlahan dan perkalian berlaku hukum distributif: a×(b+c) = a×b + a×c. Begitupun sebaliknya, (a+b)×c = a×c + b×c.

Perhatikan pula bahwa definisi P (i.e. >0) lumayan abstrak jika anda baru pertama kalinya, dan kita belum menyebutkan satu pun anggota P. Namun sebelum berbicara tentang P, kita harus berbicara tentang beberapa sifat penting penjumlahan dan perkalian.

Pertama, bahwa di sana hanya ada dua bilangan yang secara eksplisit disebut namanya, yakni 0 dan 1. Keberadaan -1 kita simpulkan karena sifat invers penjumlahan.

Kedua, tidak ada yang pernah bilang di definisi tadi bahwa 1+1=2. Hanya saja, karena sifat tertutup operasi penjumlahan, 1+1 harus ada hasilnya. Di Indonesia, hasil penjumlahan 1+1 diberi nama 2.

Selanjutnya, ada beberapa hal yang harus dibuktikan terlebih dahulu.

(Teorema 1) Pertama, perkalian dengan 0 hasilnya 0. Dalam bahasa matematika, 0×a = 0 untuk setiap bilangan a.

Hah, dibuktikan?

Ya. Buktinya unyu. Btw, untuk memperpendek penulisan, a×b akan ditulis ab saja. Perhatikan bahwa

0a = 0 + 0a

Karena 0 = -0a + 0a, persamaan berubah menjadi

0a = -0a + 0a + 0a

Dengan menggunakan hukum distributif diperoleh

0a = -0a + (0+0)a

Karena penjumlahan dengan 0 tidak mengubah hasil,

0a = -0a + 0a

Karena -0a adalah lawan penjumlahan dari 0a, -0a + 0a = 0. Maka

0a = 0.

Terbukti.

(Teorema 2) Kedua, (-1)×(-1)=1. Ya, ini juga perlu dibuktikan. Apa pun hal mengenai penjumlahan dan perkalian yang berada di luar definisi barusan harus dibuktikan.

Bukti: Perhatikan bahwa dengan menggunakan hukum distributif diperoleh

(-1)×(-1) + (1)×(-1) = (-1 + 1)×(-1)

Karena perkalian dengan 1 tidak mengubah hasil serta -1 adalah lawan penjumlahan dari 1,

(-1)×(-1) + (-1) = 0×(-1)

Menurut Teorema 1, 0×(-1)=0. Maka

(-1)×(-1) + (-1) = 0.

Jika kedua ruas ditambah 1 maka kita memperoleh

(-1)×(-1) + (-1) + 1 = 0 + 1

Karena -1+1=0, 0+1=1, dan penjumpahan bersifat asosiatif, akibatnya

(-1)×(-1)=1.

Terbukti.

(Teorema 3) Ketiga, (-a)=(-1)×a untuk semua bilangan a.

Bukti: Karena 1 adalah unsur identitas operasi perkalian,

a + (-1)×a = 1×a + (-1)×a.

Dengan menggunakan hukum distributif,

a + (-1)×a = (1+(-1))×a

Menurut definisi dari -1, kita punya 1+(-1)=0. Maka

a + (-1)×a = 0×a

Dari Teorema 1,

a + (-1)×a = 0

Jika kedua ruas ditambah -a,

-a + a + (-1)×a = -a + 0

0 + (-1)×a = -a

(-1)×a = -a.

Terbukti.

(Teorema 4) Keempat, (-a)×(-b) = a×b.

Bukti:

Dari Teorema 3,

(-a)×(-b) = ((-1)×a)×((-1)×b)

Karena perkalian bersifat komutatif dan asosiatif,

(-a)×(-b) = ((-1)×(-1))×(a×b)

Dari Teorema 2, (-1)×(-1) = 1. Maka

(-a)×(-b) = 1 × (a×b)

Karena 1 adalah unsur identitas sifat perkalian,

(-a)×(-b) = a×b.

Terbukti.

Bentuknya sudah mirip dengan yang ingin kita buktikan, bahwa bilangan negatif dikali bilangan negatif hasilnya bilangan positif. Mari kita buktikan pernyataan tersebut.

(Yang ingin dibuktikan dari awal, -×-=+) Jika a dan b dua bilangan sehingga a<0 dan b<0, maka a×b>0

Bukti:

Dari definisi bilangan positif dan negatif, a<0 berarti -a adalah anggota P, alias -a>0. Begitu juga b<0 berarti -b adalah anggota P, alias -b>0.

Karena -a dan -b adalah anggota P, haruslah (-a)×(-b) adalah anggota P, alias (-a)×(-b)>0.

Dari Teorema 4, (-a)×(-b) = a×b. Akibatnya a×b>0. Terbukti. Yeeeeeee!

Selamat, anda telah belajar sebagian hal penting yang dipelajari di struktur aljabar, matakuliah tingkat 2 atau 3 di jenjang S1 program studi matematika.